Кафедра 30, «Высшая математика»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

(для групп К01-221,222,223,224,281,331,361)

1-2 недели.

Предмет математики. Естествознание как источник математических понятий.

Основные понятия теории множеств: множество, операции над множествами, отображение множеств, взаимно однозначное соответствие, счётные и несчётные множества.

Некоторые понятия математической логики. Условие, заключение, отрицание. Кванторы, формальное построение отрицаний с помощью кванторов.

Действительные числа. Свойства действительных чисел. Рациональные и иррациональные числа. Плотность множества рациональных чисел во множестве действительных чисел. Счётность множества рациональных чисел и несчётность множества иррациональных чисел.

Точная верхняя и ночная нижняя грани числового множества. Теорема об их существовании у непустого ограниченного множества.

3 неделя

Комплексные числа и их геометрическая интерпретация. Различные формы записи комплексного числа. Операции умножения, деления, возведения в степень и извлечение корня из комплексного числа. Показательная форма представления комплексного числа. Формулы Эйлера (без доказательства).

4-6 недели

Последовательность и её предел. Единственность предела сходящейся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей (сходимость модуля, ограниченность, сохранение знака, предельный переход в неравенствах, теорема о трёх последовательностях). Арифметические свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Монотонные последовательности. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности. Число е. Лемма о последовательности стягивающихся отрезков.

Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы последовательности. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши существования предела последовательности

7-8 недели.

Функция, её области определения и значений. Способы задания функций (в частности, неявное и параметрическое задание). Арифметические действия над функциями. Сложная и обратная функции. Основные элементарные функции. Ограниченные функции, точная верхняя и нижняя грани функции на множестве.

Предел функции в точке. Эквивалентность двух определений предела функции в точке. Односторонние пределы. Критерий Коши существования предела функции. Свойства пределов функций (единственность предела, предел модуля функции, арифметические свойства пределов, локальная ограниченность функции, сохранение знака, предельный переход в неравенствах, теорема о трёх функциях, предел сложной функции).

9-10 недели.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. О-символика. Специальные пределы:

Непрерывность функции в точке. Эквивалентные определения непрерывности. Свойства непрерывных функций (непрерывность суммы, произведения, частного, сохранение знака). Непрерывность сложной функции. Точки разрыва функции и их классификация.

11-12 недели.

Теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции и о достижении ею своих точных граней на отрезке. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции. Монотонные функции. Существование односторонних пределов у монотонной функции. Множество точек разрыва монотонной функции. Критерий непрерывности монотонной функции. Достаточные условия существования и непрерывности обратной функции.

Понятие равномерной непрерывности функции. Равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке.

13-14 недели.

Понятие производной. Односторонние производные. Дифференцируемость функции, её дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Уравнение касательной и нормали к графику функции, геометрический смысл производной и дифференциала. Основные свойства производной и дифференциала. Непрерывность функции, имеющей производную. Производная и дифференциал сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций. Производные функций, заданных параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.

Локальный экстремум. Теорема Ферма. Теорема Ролля о нуле производной. Теорема Лагранжа о конечных приращениях. Теорема Коши о конечных приращениях.

15-16 недели.

Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано. Единственность коэффициентов разложения по формуле Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа и в форме Коши. Формулы Тейлора (Маклорена) для основных элементарных функций.

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.	517 И46	В.А.Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа, т. 1, 2001, 2002.
2.	517 К88	Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа, т.1. М.: Высшая школа, 1981, 1988, 2003.
3.	517 И46	В.А.Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х.Сендов. Математический анализ. М.: МГУ, 1985.
4.	517 Д30	Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 2003, 2004.
5.	517 П76	А.И.Прилепко, Е.Д.Соломенцев. Последовательности, функции, пределы. М.:МИФИ, 1989.
6.	517 П76	А.И.Прилепко, Е.Д.Соломенцев. Дифференцирование функций одного переменного. М.:МИФИ, 1992.
7.	517 Ш34	С.В.Шведенко. Введение в математику и символическую запись ее утверждений. М.:МИФИ, 2000.
8.	517 Ш34	С.В.Шведенко. Комплексные числа и их изображение. М.:МИФИ, 2000.
9.	517 М54	«Пределы последовательностей и функций. Вычисление, сравнение бесконечно малых и бесконечно больших» под ред. Горячева А.П. М.: МИФИ, 2004, 2001, 1999.
10.	517 М54	ГорячевА.П., Тищенко М.А. «Исследование функций». М.: МИФИ, 2004.
11.	517 М54	Горячев А.П., Гордеев Ю.Н. и др. «Нахождение пределов». М.: МИФИ, 2004, 2000.
12.	517 Д66	Горячев А.П., Гордеев Ю.Н. Домашние задания по математическому анализу. М.: МИФИ, 2004.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.	517 Б90	Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1988, 1980, 1997.
2.	517 Б50	Г.Н.Берман. Сборник задач по математическому анализу. М.: СПб, Профессия, 1975, 1977, 1985.
3.	517 Ш34	С.В.Шведенко. Избранные лекции по математическому анализу, часть 1. М.:МИФИ, 1992.